Передо мной тоже встала такая проблема. Стали с мужем задумываться, как выходить из положения. Коту три года, всю жизнь прожил в квартире, ни разу никуда не выезжал.
Перевести кота через границу - это одно. Путешествовать по стране - совершенно другое. Для путешествия по стране Вам понадобятся сделанные прививки, кошачий паспорт и удобная корзина. Для загранпоездки придется еще оформлять на него загранпаспорт (это не шутка) и платить налоги.
Вот, Вы оформили документы. Сутки не покормили кота и продержали его без воды. Это необходимо, чтобы ни у него, ни у Вас не было дискомфорта в самолете, в поезде, в машине. Но это еще только начало проблем. Если кот особо темпераментный или остро реагирует на смену обстановки, но поводок в чужой местности его не удержит. Рванет к кошечкам, просто на прогулку или убежит из-за полученного стресса. Как потом его искать в чужом городе или стране?
По возможности, кота лучше на время оставить родственникам, друзьям или соседям. Либо отдать в кошачью гостиницу. Они есть в большинстве крупных городов. Да, кот будет за Вами скучать. Но от дальней поездки он получит еще больший стресс.

Если это отпуск на даче или в деревне, однозначно - да. Если это отдых за границей, да еще и с перелетом - это большой стресс для животного и проблема для Вас. Смена обстановки негативно сказывается на животном, он может затосковать, потерять аппетит, похудеть и что мне известно с собственного опыта может начать выпадать шерсть. Мы когда едим на дачу или к бабушке в село берем своего котика с собой, а когда летим или едем заграницу оставляем дома и просим знакомых, чтобы по кормили. Пробовали отдавать на время поездки родственникам, так он очень тосковал, похудел. Все это зависит еще и от темперамента кота. Если кот совсем домашний и не выходит на улицу, думаю, не стоит. Если кот общительный, иногда выходит на улицу можно брать с собой на короткие расстояния.