Надеются - это глагол, он стоит в третьем лице множественном числе. Чтобы правильно написать личное окончание глагола, надо прежде всего определить его спряжение. Для этого поставим глагол в инфинитив (неопределенную форму) и определим суффикс перед -ть: надеяться. Перед -ть находится суффикс -я-, глагол не является исключением (исключения: смотреть, видеть, ненавидеть, зависеть, вертеть, обидеть, терпеть, дышать, держать, гнать, слышать) значит, это слово относится к первому спряжению. В окончаниях глаголов первого спряжения в третьем лице множественного числа пишется буква У (Ю), т.е. окончание -ут (-ют).